Question

橢圓的對稱中心在坐標原點，一個頂點為，右焦點F與點 的距離為2。
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在斜率 的直線使直線與橢圓相交于不同的兩點M,N滿足，若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

(1) (2) 存在;或。

試題分析：(1) 依題意，設橢圓方程為，然后解關于a、b、c的方程組即可．
(2) 由知點在線段的垂直平分線上，由消去得 
轉化為方程有兩個不相等的實數根，再利用根與系數的關系，代入方程求出k即可．        
(1)依題意，設橢圓方程為，則其右焦點坐標為 ，由，得，即，解得。 又 ∵ ，∴，即橢圓方程為。      (4分)
（2）方法一:由知點在線段的垂直平分線上，由消去得即 （*）          ( 5分)
由,得方程(*)的,即方程(*)有兩個不相等的實數根。    (6分)
設、，線段MN的中點，則，，
 ，即 
，∴直線的斜率為，        (9分)
由，得，∴，解得：，  (11分)
∴l的方程為或。         ( 12分)
方法二:直線l恒過點(0,-2), 且點(0,-2)在橢圓上, ∴不妨設M(0,-2), 則|AM|=4    (6分)
∴|AN|="4," 故N在以A為圓心, 4為半徑的圓上,即在的圖像上．
聯立 化簡得 ,解得           (8分)
當y=-2時,N和M重合,舍去．當y=0時,, 因此      (11分)
∴l的方程為或。      ( 12分)