Question

（文科）已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當0≤x≤1時，f（x）=x²．若直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點，則實數a=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意可做出函數f（x）在[0，2]上的圖象，通過數形結合與方程思想的應用即可解決問題．
解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，當0≤x≤1時，f（x）=x²，
∴當-1≤x≤0時，0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
又f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的函數，又直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點，其圖象如下：


當a=0時，直線y=x+a變為直線l₁，其方程為：y=x，顯然，l₁與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點；
當a≠0時，直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點，由圖可知，直線y=x+a與函數y=f（x）相切，切點的橫坐標x∈[0，1]．
由得：x²-x-a=0，由△=1+4a=0得a=-，此時，x=x=∈[0，1]．
綜上所述，a=-或a=0．
故答案為：-或a=0．
點評：本題考查函數的周期性，函數的奇偶性與求方程的解，著重考察數形結合思想與方程思想的應用，屬于中檔題．