Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=AC=BC=SC，0為BC的中點．
（I）求證：SO⊥面ABC；
（II）求異面直線SC與AB所成角的余弦值；
（III）在線段AB上是否存在一點E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為；若存在，求BE：BA的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意及所給的邊長設SB=a，則SO=，AO=，SA=a，得到SO⊥OA，及利用線線垂直的判定定理得到線面垂直；
（II）由題意及圖形特點以O為原點，以OC所在射線為x軸正半軸，以OA所在射線為y軸正半軸，以OS所在射線為z軸正半軸建立空間直角坐標系，
寫出點的坐標，利用異面直線所成角的定義求出夾角；
（III）由題意屬于開放性的題目，利用假設存在，利用條件對于坐標設出未知的變量，利用向量的知識解出變量的大小，進而求出二面角的大小．
解答：解：（Ⅰ）
連接SO，顯然∴SO⊥BC，
設SB=a，則SO=，AO=，SA=a
∴SO²+OA²=SA²，∴SO⊥OA，
又∴BC∩OA=0，∴SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O為原點，以OC所在射線為x軸正半軸，以OA所在射線為y軸正半軸
以OS所在射線為z軸正半軸建立空間直角坐標系．
則有O（0，0，0），
，，，，
∴
∴，
∴，
∴異面直線SC與AB所成角的余弦值為，
（Ⅲ）假設存在E滿足條件，設（0≤λ≤1），
則，
．
設面SCE的法向量為=（x，y，z），
由，得
，．
因為OA⊥面ABC，所以可取向量=（0，1，0）為面SBC的法向量．
所以，，
解得，．
所以，當BE：BA=1：2時，二面角B-SC-E的余弦值為．
點評：此題重點考查了線面垂直的判定定理，還考查了利用空間向量的知識求異面直線所成的角及二面角，另外對于的三問這樣開放型的題目，應先假設結論，由此推出具備的條件，在由此條件得到是否存在．