Question

已知函數f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點（1，-4），且函數g（x）=f'（x）+6x的圖象關于y軸對稱．
（1）求m、n的值及函數f（x）的極值；（2）求函數y=f（x）在區間[-2，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件的到兩個關于m、n的方程，求出m、n的值，再找函數y=f（x）的導函數大于0和小于0對應的區間即可．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，分①當-2＜a≤0時、②當0＜a≤3時和③當a＞3時，3種情況討論函數f（x）在區間[-2，a]上和可能的最大值，將函數值加以比較即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由函數f（x）圖象過點（1，-4），得m-n=-3，①
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，
則g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n；
而g（x）圖象關于y軸對稱，所以-

2m+6

2×3

=0，所以m=-3，
代入①得n=0．所以m、n的值分別為-3、0；
從而f（x）=x³-3x²-2，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，故f（x）的單調遞增區間是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，故f（x）的單調遞減區間是（0，2）．
∴f（x）的極大值為f（0）=-2，極小值為f（2）=-6；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

由此可得：
①當-2＜a≤0時，f（x）在[-2，a]內為增函數，最大值為f（a）=a³-3a²-2；
②當0＜a≤3時，由于f（0）≥f（a），f（x）在[-2，a]內最大值為f（0）=-2；
③a＞3時，由于f（0）＜f（a），可得f（x）在[-2，a]內最大值為f（a）=a³-3a²-2．

點評：本小題主要考查函數的奇偶性、單調性、極值、導數、不等式等基礎知識，考查運用導數研究函數性質的方法，以及分類與整合、轉化與化歸等數學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．