Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a1=1，Sn+1=4an+2(n∈N*)，
（Ⅰ）設(shè)bn=

an

2n

，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出bn=

an

2n

的表達式，利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）根據(jù){a_n}與{b_n}的關(guān)系求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）由s_n+1=4a_n+2，得n≥2時s_n=4a_n-1+2…（2分）
兩式相減得 a_n+1=4a_n-4a_n-1     …（4分）
等式兩邊同除以2ⁿ⁺¹得，

an+1

2n+1

=

4an

2n+1

-

4an-1

2n+1

，
即

an+1

2n+1

=

2an

2n

-

an-1

2n-1

，
由bn=

an

2n

得b_n+1=2b_n-b_n-1，所以b_n+1+b_n-1=2b_n．
所以{b_n}是等差數(shù)列．…（7分）
（II）根據(jù)等差數(shù)列求得b1=

a1

2

=

1

2

，S₂=a₁+a₂=4a₁+2，所以a₂=5，
所以b2=

a2

4

=

5

4

，所以公差d=b2-b1=

5

4

-

1

2

=

3

4

，
所以bn=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3

4

n-

1

4

．
代入a_n=2ⁿ•bⁿ得 an=(3n-1)•2n-2…（13分）

點評：本題主要考查等差數(shù)列的證明和通項公式的求法，要求熟練掌握相應(yīng)的公式．