Question

5．設f（x）是R上的可導函數，且f′（x）≥-f（x），f（0）=1，f（2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$．則f（1）的值為$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 根據條件構造函數g（x）=f（x）e^x，求函數的導數，研究函數的單調性即可得到結論．

解答 解：設g（x）=f（x）e^x，
則g′（x）=f′（x）e^x+f（x）e^x=e^x（f′（x）+f（x）），
∵f′（x）≥-f（x），∴f′（x）+f（x）≥0，
則g′（x）≥0，
則函數g（x）為單調遞增函數或常數函數，
∵f（0）=1，f（2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
∴g（0）=f（0）e⁰=1，
g（2）=f（2）e²=1，
則g（0）=g（2）=1，
∴函數g（x）是常數函數，
則g（x）=1，即g（1）=f（1）e=1，
則f（1）=$\frac{1}{e}$，
故答案為：$\frac{1}{e}$

點評 本題主要考查函數值的計算，根據條件構造函數，求函數的導數研究函數單調性的性質是解決本題的關鍵．