Question

將函數f（x）=e^x展開為x的冪級數，并求出收斂區間．（e=2.718為自然對數的底）

Answer 1

【答案】分析：利用基本初等函數的導數個數求出f（x）的各階導數相同，利用冪級數的定義找到它的收斂區間．
解答：解：∵f（x）=e^x，
∴f′（x）=f″（x）=fⁿ（x）=e^x
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fⁿ（0）=1
函數在區間-r≤x≤r上有|fⁿ（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）
所以函數e^x可以在區間[-r，r]上展開成冪級數，
因為r＞0是任意的，
所以，函數e^x在區間（-∞，+∞）上可展成冪級數，
特別的它的馬克勞林級數是．
點評：本題考查基本初等函數的個數、考查冪級數及收斂區間的定義．