Question

設A、B是橢圓C：3x²+y²=λ上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點．
（I）求直線AB的方程，并確定λ的取值范圍；
（II）在x軸上存在一個點E，使△EAB為正三角形，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（I）利用點差法來求中點弦方程，設出A，B點坐標，根據兩點在橢圓上，代入橢圓方程，作差，利用中點坐標公式，即可化簡，求出直線AB的斜率，再根據斜率和直線上的定點坐標，寫出點斜式方程．再根據點N（1，3）在橢圓內部，代入橢圓方程，小于λ，即可求出λ的范圍．
（II）因為△EAB為正三角形，N（1，3）是線段AB的中點，所以線段AB的中垂線為EN，由因為E點在x軸上，可求出E點坐標，利用兩點間的距離公式，求出EN長，在正三角形中，中線是邊長的

3

2

，可求出△EAB的邊長，再用弦長公式即可求出λ的值．

解答：解：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

3 x 2 1 + y 2 1 =λ 3 x 2 2 + y 2 2 =λ

⇒3(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
依題意，x1≠x2， ∴kAB=-

3(x1+x2)

y1+y2

．
∵N（1，3）是AB的中點，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，從而k_AB=-1…4分直線AB的方程為y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
又由N（1，3）在橢圓內，λ＞3×1²+3²=12．
∴λ的取值范圍是（12，+∞）．
（II）易得：線段AB的中垂線方程為：y=x+2，令y=0得：點E的人坐標為（-2，0）
∴|EN|=

32+32

=3

2

．
又由|EN|=

3

2

|AB|得：
|AB|=

2

3

|EN|=2

6

．
∴|AB|=|x1-x2|

1+k2

=

△

|a|

1+k2

=

16(λ-12)

4

•

2

=

2λ-24

∴由

2λ-24

=2

6

得λ=24
∴此時橢圓的方程為：C：

x2

8

+

y2

24

=1．

點評：本題主要考查了直線與橢圓相交時中點弦，弦長公式的應用，屬于常規題．