Question

已知f（x）為二次函數(shù)，且f（-1）=2，f′（0）=0，∫¹f（x）dx=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)，根據(jù)條件建立三個(gè)方程，求出參數(shù)即可．
（2）本題是二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，通常從三個(gè)方面入手：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸以及閉區(qū)間；開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=0，故在對(duì)稱(chēng)軸處取最小值，在±1處取最大值．
解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
則f′（x）=2ax+b．
由
∴f（x）=ax²+（2-a）．
又∫¹f（x）dx=∫¹[ax²+（2-a）]dx
=[ax³+（2-a）x]|¹=2-a=-2，
∴a=6，∴c=-4．
從而f（x）=6x²-4．
（2）∵f（x）=6x²-4，x∈[-1，1]，
所以當(dāng)x=0時(shí)f（x）_min=-4；
當(dāng)x=±1時(shí)，f（x）_max=2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分，以及函數(shù)的最值及集合意義，屬于基礎(chǔ)題．