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四個紀念幣A、B、C、D,投擲時正面向上的概率如下表所示(0<a<1).
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將這四個紀念幣同時投擲一次,設ξ表示正面向上的紀念幣的個數.
(Ⅰ)求ξ的取值及相應的概率;
(Ⅱ)求在概率p(ξ)中,p(ξ=2)為最大時,實數a的取值范圍.
分析:(I)由題意知ξ可能取值為0,1,2,3,4.根據所給的四個紀念幣投擲時正面向上的概率,根據這四個紀念幣是否向上是相互獨立的,結合變量對應的事件寫出變量對應的概率.
(II)根據a是概率,得到a的范圍,根據a的范圍比較出兩個概率之間的大小關系,p(ξ=0)<p(ξ=1),p(ξ=4)<p(ξ=3),要求p(ξ=2)為最大時a的值,只要比較與ξ=3,ξ=2與ξ=1的大小,解不等式組得到結果.
解答:解:(I)ξ可能取值為0,1,2,3,4.
其中p(ξ=0)=C20(1-
1
2
2C20(1-a)2=
1
4
(1-a)2
p(ξ=1)=C21
1
2
(1-
1
2
)C20(1-a)2+C20(1-
1
2
2•C21a(1-a)=
1
2
(1-a)
p(ξ=2)=C22
1
2
2C20(1-a)2+C21
1
2
(1-
1
2
)C21a(1-a)+C20(1-
1
2
2•C22a 2=
1
4
(1+2a-2a 2
p(ξ=3)=C22
1
2
2C21a(1-a)+C21
1
2
(1-
1
2
)C22a 2=
a
2

p(ξ=4)=C22
1
2
2C22a 2=
1
4
a 2
(II)∵0<a<1,
∴p(ξ=0)<p(ξ=1),p(ξ=4)<p(ξ=3)
又p(ξ=2)-p(ξ=1)=
1
4
(1+2a-2a2)-
1-a
2
=-
2a2-4a+1
4
≥0
1
4
(1+2a-2a 2)-
a
2
≥0
2-
2
2
≤a≤
2+
2
2
-
2
2
≤a≤
2
2

解得a∈[
2-
2
2
2
2
]
點評:本題考查離散型隨機變量的分布列,考查分布列中概率的性質,考查不等式組的解法,是一個綜合題,解本題的關鍵是根據a的范圍,看出五個概率之間的大小關系.
練習冊系列答案
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四個紀念幣A、B、C、D,投擲時正面向上的概率如下表所示(0<a<1).
紀念幣 A B C D
概率
1
2
1
2
a a
這四個紀念幣同時投擲一次,設ξ表示出現正面向上的個數.
(1)求ξ的分布列及數學期望;
(2)在概率P (ξ=i ) (i=0,1,2,3,4)中,若P (ξ=2 )的值最大,求a的取值范圍.

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四個紀念幣A、B、C、D,投擲時正面向上的概率如下表所示(0<a<1)

紀念幣

A

B

C

D

概率

1/2

1/2

a

a

這四個紀念幣同時投擲一次,設ξ表示出正面向上的個數。

(1)求概率p(ξ)

(2)求在概率p(ξ),p(ξ=2)為最大時,a的取值范圍。

(3)求ξ的數學期望。

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概率aa
這四個紀念幣同時投擲一次,設ξ表示出現正面向上的個數.
(1)求ξ的分布列及數學期望;
(2)在概率P (ξ=i ) (i=0,1,2,3,4)中,若P (ξ=2 )的值最大,求a的取值范圍.

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將這四個紀念幣同時投擲一次,設ξ表示正面向上的紀念幣的個數.
(Ⅰ)求ξ的取值及相應的概率;
(Ⅱ)求在概率p(ξ)中,p(ξ=2)為最大時,實數a的取值范圍.

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