Question

設A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點，點A關于原點的對稱點B，F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF．若∠ABF∈[

π

12

，

π

4

]，則該橢圓離心率的取值范圍為（　　）

• A、[

  1

  2

  ，

  2

  2

  ]
• B、[

  6

  6

  ，

  2

  2

  ]
• C、[

  6

  6

  ，

  6

  3

  ]
• D、[

  2

  2

  ，

  6

  3

  ]

Answer 1

分析：由題設條件結合橢圓的對稱性推導出|AF|+|BF|=2a，|AB|=2c，設∠ABF=α，則能推導出2csinα+2ccosα=2a，由此能求出結果．

解答：解：∵A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點，點A關于原點的對稱點B，
∴B也在橢圓上，
設左焦點為F′，
根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，
又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a …①
∵O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c，
設∠ABF=α，則|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，
∴

c

a

=

1

sinα+cosα

，
即e=

1

sinα+cosα

=

1

2 sin(α+ π 4 )

，
∵α=∠ABF∈[

π

12

，

π

4

]，∴

π

3

≤α+

π

4

≤

π

2

，
∴

3

2

≤sin(α+

π

4

)≤1，
∴

3

2

≤sin（α+

π

4

）≤1
∴

2

2

≤e≤

6

3

．
故選D．

點評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意橢圓的對稱性的靈活運用，是中檔題．