Question

已知雙曲線C的兩個焦點為F₁，F₂，實半軸長與虛半軸長的乘積為，直線l過F₂點，且與線段F₁F₂夾角為α，且tanα＝，l與線段F₁F₂垂直平分線的交點為P，線段PF₂與雙曲線的交點為Q，且，求雙曲線方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：本題未給出坐標系，從雙曲線的對稱性知，可取F₁F₂所在直線為x軸，F₁F₂的中垂線為y軸建立直角坐標系如圖所示．設雙曲線方程為＝1，用待定系數法求a、b之值．

　　解析：取F₁F₂所在直線為x軸，F₁F₂的中垂線為y軸建立直角坐標系，設雙曲線方程為＝1，設F₁(－c，0)、F₂(c，0)．

　　由題意直線l的方程為y＝(x－c)，令x＝0，

　　得點P坐標為(0，－c)．

　　又，由定比分點坐標公式可得點Q坐標(，)．

　　∵點Q在雙曲線上，∴＝1　　①

　　又c²＝a²＋b²　　②

　　由①、②消去c，化簡整理得

　　16()⁴－41()²－21＝0，解得＝　　③

　　又由已知有ab＝　　④

　　由③④得a＝1，b＝，

　　則所求雙曲線方程為＝1．

　　又由對稱性知，雙曲線＝1也適合．

　　故所求雙曲線方程為＝1，或＝1．