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已知正項數列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn+Sn-1=k
a
2
n
+2(n≥2,n∈N*,k>0),a1=1.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若數列{
1
anan+1
}的前n項和為Tn,是否存在常數k,使得Tn<2對所有的n∈N*都成立?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(1)再寫一式,兩式相減,即可得到結論;
(2)利用裂項求和,可得使得Tn<2對所有的n∈N*都成立,只需要k+k2≤2(k>0),即可得到結論.
解答:解:(1)∵Sn+Sn-1=k
a
2
n
+2,∴Sn+1+Sn=k
a
2
n+1
+2
兩式相減可得(an+1+an)[(an+1-an)-
1
k
]=0
∵正項數列{an},
an+1-an=
1
k
(n≥2)
∵S2+S1=k
a
2
2
+2,a1=1
a2=
1
k

∴an=
1,n=1
n-1
k
,n≥2

(2)由題意,T1=k,
當n≥2時,Tn=k+
k2
1×2
+…+
k2
(n-1)n
=k+k2(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
)
=k+k2(1-
1
n
)

∵Tn=k+k2(1-
1
n
)
<k+k2
∴使得Tn<2對所有的n∈N*都成立,只需要k+k2≤2(k>0),
∴0<k≤1.
點評:本題考查數列的通項與求和,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知正項數列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
(1)求證:數列{
an
2n+1
}
為等差數列,并求數列{an}的通項an
(2)設bn=
1
an
,求數列{bn}的前n項和為Sn,并求Sn的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

定義:稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數a1,a2,…,an的“均倒數”,已知正項數列{an}的前n項的“均倒數”為
1
2n
,則
lim
n→∞
nan
sn
(  )
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知正項數列an中,a1=2,點(
an
an+1)
在函數y=x2+1的圖象上,數列bn中,點(bn,Tn)在直線y=-
1
2
x+3
上,其中Tn是數列bn的前項和.(n∈N+).
(1)求數列an的通項公式;
(2)求數列bn的前n項和Tn

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知正項數列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求證:數列{bn}為等比數列;
(2)記Tn為數列{
1
log2bn+1log2bn+2
}
的前n項和,是否存在實數a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
1
2
a)
對?n∈N+恒成立?若存在,求出實數a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知正項數列{an},Sn=
1
8
(an+2)2

(1)求證:{an}是等差數列;
(2)若bn=
1
2
an-30
,求數列{bn}的前n項和.

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同步練習冊答案
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