Question

設變量x，y滿足約束條件

x-y+1≤0 2x-y+1≥0 4x+y-7≤0

，線性目標函數z=ax+y的最大值為a+3，則實數a的取值范圍是

[-2，4]

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是簡單線性規劃的應用，我們要先畫出滿足約束條件

x-y+1≤0 2x-y+1≥0 4x+y-7≤0

的平面區域，然后分析平面區域里各個角點，進一步分目標函數z=ax+y的最大值為a+3，構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出a的范圍．

解答：解：由變量x，y滿足約束條件

x-y+1≤0 2x-y+1≥0 4x+y-7≤0

，
作出可行域：

∵z=ax+y，A（0，1），∴z_A=1；
解方程組

x-y+1=0 4x+y-7=0

，得B（

6

5

，

11

5

），∴z_B=

6

5

a+

11

5

；
解方程組

2x-y+1=0 4x+y-7=0

，得C（1，3），∴z_C=a+3．
∵線性目標函數z=ax+y的最大值為a+3，
∴

a+3≥1 a+3≥ 6 5 a+ 11 5

，解得-2≤a≤4．
故答案為：[-2，4]．

點評：在解決線性規劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域⇒②求出可行域各個角點的坐標⇒③將坐標逐一代入目標函數⇒④驗證，求出最優解．