Question

甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓．現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，具體成績如圖所示，且甲學生的平均分為85分．
（Ⅰ）觀察莖葉圖，求圖中的x
（Ⅱ）若要從中選派一人參加數學競賽，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理
由；
（Ⅲ）若將頻率視為概率，對甲同學在今后的3次數學競賽成績進行預測，記這3次成績中高于80分的次數為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據計算平均數的公式可得答案．
（Ⅱ）根據有關公式可得

.

x甲

=

.

x乙

，s_甲²＜s_乙²，所以甲的成績較穩定，因此派甲參賽比較合適．
（Ⅲ） 記“甲同學在一次數學競賽中成績高于80分”為事件A，則P(A)=

6

8

=

3

4

，隨機變量ξ 的可能取值為0、1、2、3，由題意可得ξ服從二項分布，即ξ～B(3，

3

4

)，進而根據公式即可得到分布列與期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：

.

x甲

=

93+95+81+82+80+x+88+78+79

8

=85，
所以解得x=4 …3分
（Ⅱ）派甲參賽比較合適．
因為

.

x甲

=85，

.

x乙

=

90+92+95+80+80+83+85+75

8

=85，
所以s_甲²=35.5，s_乙²=41，
∴ 

.

x甲

=

.

x乙

，s_甲²＜s_乙²，
∴甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適． …7分
（Ⅲ） 記“甲同學在一次數學競賽中成績高于80分”為事件A，
則P(A)=

6

8

=

3

4

．
隨機變量ξ 的可能取值為0、1、2、3，且ξ～B(3，

3

4

)．
∴P(ξ=k)=

C

k 3

(

3

4

)k(

1

4

)3-k，k=0，1，2，3．
所以變量ξ 的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

Eξ=0×

1

64

+1×

9

64

+2×

27

64

+3×

27

64

=

9

4

．（或Eξ=nP=3×

3

4

=

9

4

） …12分

點評：本題主要考查莖葉圖、標準差與等可能事件的概率，以及離散型隨機變量的分布列與期望．