Question

已知函數(shù)f(x)＝x²＋ (x≠0)．

(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若f(1)＝2，試判斷f(x)在[2，＋∞)上的單調(diào)性

 

Answer 1

【答案】

(1)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2) f(x)在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x²，f(－x)＝f(x)，函數(shù)是偶函數(shù)．   3分

當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)＝x²＋x≠0，常數(shù)a∈R)，                 5分

取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；

f(－1)－f(1)＝－2a≠0，

∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．

∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．               6分

(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，這時(shí)f(x)＝x²＋.

任取x₁，x₂∈[2，＋∞)，且x₁<x₂，

則f(x₁)－f(x₂)＝(x₁²＋)－(x₂²＋)

＝(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＋

＝(x₁－x₂)(x₁＋x₂－)．

由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁<x₂，

∴x₁－x₂<0，x₁＋x₂>，所以f(x₁)<f(x₂)，

故f(x)在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．                 12分

考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)的性質(zhì)問題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)性質(zhì)的概念，另還要掌握常見的判斷方法。