Question

15．在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若b，c，a成等比數列，且a=$\frac{1}{2}$b，則cosA=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

Answer 1

分析 由b，c，a成等比數列，利用等比數列的性質列出關系式，再將2a=b代入，開方用b表示出c，然后利用余弦定理表示出cosB，將表示出的a和c代入，整理后即可得到cosB的值．

解答 解：在△ABC中，∵b，c，a成等比數列，
∴c²=ab，又2a=b，
∴c²=$\frac{1}{2}$b²，即c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
則cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+\frac{1}{2}{b}^{2}-\frac{1}{4}{b}^{2}}{2b×\frac{\sqrt{2}}{2}b}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

點評 此題考查了余弦定理，以及等比數列的性質，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵，屬于基礎題．