Question

已知函數在x=1處取得極值2．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）當m滿足什么條件時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增？
（3）若P（x，y）為圖象上任意一點，直線l與的圖象切于點P，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數在x=1處取得極值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b確定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增區間得到m的不等式組求出解集即可；
（3）找出直線l的斜率k=f′（x），利用換元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范圍．
解答：解：（1）因，
而函數在x=1處取得極值2，
所以⇒⇒
所以；
（2）由（1）知，
如圖，f（x）的單調增區間是[-1，1]，
所以，⇒-1＜m≤0，
所以當m∈（-1，0]時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增．

（3）由條件知，過f（x）的圖形上一點P的切線l的斜率k為：=
令，則t∈（0，1]，此時，
根據二次函數的圖象性質知：
當時，k_min=，當t=1時，k_max=4
所以，直線l的斜率k的取值范圍是．
點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，以及直線斜率的求法．