Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC中點．
（Ⅰ）證明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一點E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：平面AA₁C₁C⊥平面ABC，根據平面與平面垂直的性質定理可以得到，只要證明A₁O⊥AC就行了．
（2）此小題由于直線A₁C與平面A₁AB所成角不易作出，再由第（1）問的結論可以聯想到借助于空間直角坐標系，設定參數，轉化成法向量n與所成的角去解決
（3）有了第（2）問的空間直角坐標系的建立，此題解決就方便多了，欲證OE∥平面A₁AB，可以轉化成證明OE與法向量n垂直
解答：解：（Ⅰ）證明：因為A₁A=A₁C，且O為AC的中點，
所以A₁O⊥AC．（1分）
又由題意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
交線為AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）如圖，以O為原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
由題意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，
所以得：
則有：．（6分）

設平面AA₁B的一個法向量為n=（x，y，z），則有，
令y=1，得所以．（7分）
．（9分）
因為直線A₁C與平面A₁AB所成角θ和向量n與所成銳角互余，所以．（10分）
（Ⅲ）設，（11分）
即，得
所以，得，（12分）
令OE∥平面A₁AB，得，（13分）
即-1+λ+2λ-λ=0，得，
即存在這樣的點E，E為BC₁的中點．（14分）
點評：本小題主要考查空間線面關系、直線與平面所成的角、三角函數等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力