Question

已知函數(shù)f(x)=cosx，x∈(

π

2

，3π)，若方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)根，且從小到大依次成等比數(shù)列，則a的值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．-

  1

  2

• D．-

  3

  2

Answer 1

分析：作出函數(shù)y=cosx的圖象和直線y=a，得兩個(gè)圖象在（

π

2

，3π）上有三個(gè)交點(diǎn)A、B、C，滿足A、B關(guān)于x=π對(duì)稱且B、C關(guān)于x=2π對(duì)稱，結(jié)合三個(gè)根從小到大依次成等比數(shù)列列出橫坐標(biāo)x₁、x₂、x₃的方程組，解之可得x₂的值，從而得出實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：同一坐標(biāo)系中作出y=cosx和y=a的圖象，
設(shè)兩個(gè)圖象在（

π

2

，3π）上有三個(gè)交點(diǎn)A、B、C，則A、B、C的橫坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)方程f（x）=a的三個(gè)根，
得A（x₁，a），B（x₂，a），A（x₃，a），
根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，得

x1+x2

2

=π，得x₁+x₂=2π
且

x2+x3

2

=2π，x₂+x₃=4π
∵三個(gè)根從小到大依次成等比數(shù)列，即x₂²=x₁x₃，
∴

x

2 2

=(2π-x2)(4π-x2)，解之得x2=

4π

3

，
因此x1=

2π

3

，x2=

4π

3

，x3=

8π

3

，所以a=cos

2π

3

=-

1

2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦函數(shù)的對(duì)稱性和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．