Question

設函數，若關于的方程在上恰好有兩個相異實根，則實數的取值范圍為______________．

Answer 1

試題分析：方程f（x）=x²+x+a可化為x-a+1-ln（1+x）²=0，由于此方程為非基本方程，故求方程的根，可以轉化為求對應函數的零點問題，利用導數法我們易構造出滿足條件的不等式組，解不等式組即可得到實數a的取值范圍．解：若f（x）=x²+x+a，即（1+x）²-ln（1+x）²=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，記g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，則g'（x）=，令g'（x）＞0，得x＞1，或x＜-1，令g'（x）＜0，得-1＜x＜1，∴g（x）在[0，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增；，若方程f（x）=x²+x+a在x∈[0，2]上恰好有兩個相異實根，則，g(0)≥0，g(1)＜0，g(2)≥0，解得2-2ln2＜a≤3-2ln3，故答案為：（2-2ln2，3-2ln3]
點評：本題考查的知識點是方程的根的分布，其中利用方程的根與對應函數之間的關系，將方程f（x）=x²+x+a在x∈[0，2]上恰好有兩個相異實根，轉化為對應函數在區(qū)間∈[0，2]上恰好有兩個相異的零點是解答本題的關鍵．