Question

已知A、B、M是長軸為4的橢圓C上的三點，點A是長軸的一個端點，BM過此橢圓中心O，且=0，=8．

(1)建立適當的坐標系，求橢圓的方程；

(2)設橢圓C上有兩點P、Q使∠PMQ的平分線垂直于AO，證明：存在實數λ，使PQ=λAB．

Answer 1

答案：(1)以O為原點，以射線OA為x軸的正向，建立如圖所示的坐標系，則A(2，0)．

于是可設C：==1．

∵=0，∴AM⊥BMcos∠ABM=．

從而，=|BM|·|BA|·=|BM|²=8|BM|=.

由對稱性知，|MO|=|BM|=.

第22題圖

∴M(1，1)，B(-1，-1)．

代入C的方程，得=1b²=．

故C：=1.

(2)∵∠PMQ的平分線垂直于x軸，∴可設直線MP的斜率為k，MQ的斜率為-k．

于是MP：y-1=k(x-1)，MQ：y-1=-k(k-1)．

從MP與C的方程中消去y，得

(1+3k²)x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0．

設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)．

由于M(1，1)在C上，∴x₁=x₁·1=

同理可得x₂=．

∵y₁=k(x₁-1)+1，y₂=-k(x₂-1)+1．

∴k_PQ==.

又k_AB=，從而.故存在實數λ，使.