Question

已知橢圓的離心率為，右焦點為（，0），斜率為I的直線l與橢圓G交與A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（I）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據橢圓離心率為，右焦點為（，0），可知c=，可求出a的值，再根據b²=a²-c²求出b的值，即可求出橢圓G的方程；
（II）設出直線l的方程和點A，B的坐標，聯立方程，消去y，根據等腰△PAB，求出直線l方程和點A，B的坐標，從而求出|AB|和點到直線的距離，求出三角形的高，進一步可求出△PAB的面積．
解答：解：（I）由已知得，c=，，
解得a=，又b²=a²-c²=4，
所以橢圓G的方程為．
（II）設直線l的方程為y=x+m，
由得4x²+6mx+3m²-12=0．①
設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x1＜x₂），AB的中點為E（x，y），
則x==-，
y=x+m=，
因為AB是等腰△PAB的底邊，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此時方程①為4x²+12x=0．
解得x₁=-3，x₂=0，
所以y₁=-1，y₂=2，
所以|AB|=3，此時，點P（-3，2）．
到直線AB：y=x+2距離d=，
所以△PAB的面積s=|AB|d=．
點評：此題是個中檔題．考查待定系數法求橢圓的方程和橢圓簡單的幾何性質，以及直線與橢圓的位置關系，同時也考查了學生觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．