Question

已知橢圓和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B．
（1）（ⅰ）若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e；
（ⅱ）若橢圓上存在點P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；
（2）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（ⅰ）由圓O過橢圓的焦點，知圓O：x²+y²=b²，由此能求出橢圓的離心率e；
      （ⅱ）由∠APB=90°及圓的性質，可得，|OP|²=2b²≤a²，由此能求出橢圓離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，所以PA方程為：x₁x+y₁y=b²，PB方程為：x₂x+y₂y=b²．由此入手能得到為定值．
解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）∵圓O過橢圓的焦點，圓O：x²+y²=b²，
∴b=c，∴b²=a²-c²=c²，∴a²=2c²，
∴．（3分）
（ⅱ）由∠APB=90°及圓的性質，可得，
∴|OP|²=2b²≤a²，∴a²≤2c²
∴，．（6分）
（Ⅱ）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
整理得xx+yy=x₁²+y₁²∵x₁²+y₁²=b²
∴PA方程為：x₁x+y₁y=b²，PB方程為：x₂x+y₂y=b²．
∴x₁x+y₁y=x₂x+y₂y，∴，
直線AB方程為，即xx+yy=b²．
令x=0，得，令y=0，得，
∴，
∴為定值，定值是．（12分）
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．