Question

已知真命題:“函數的圖像關于點成中心對稱圖形”的充要條件為“函數是奇函數”.
（Ⅰ）將函數的圖像向左平移個單位，再向上平移2個單位，求此時圖像對應的函數解析式，并利用題設中的真命題求函數圖像對稱中心的坐標；
（Ⅱ）求函數圖像對稱中心的坐標；
（Ⅲ）已知命題：“函數 的圖像關于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實數和，使得函數 是偶函數”.判斷該命題的真假，如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設的真命題對它進行修改，使之成為真命題(不必證明).

Answer 1

（Ⅰ）,;（Ⅱ）;（Ⅲ）假命題, 修改后的真命題: “函數的圖像關于直線成軸對稱圖像”的充要條件是“函數是偶函數”.

解析試題分析：（Ⅰ）將向左平移個單位后得到的解析式是，然后向上平移2個單位得到，再根據題設的真命題得到圖像對稱中心的坐標是；（Ⅱ）設則的定義域關于原點對稱，即是一個關于原點對稱的區間，則，此時，再根據求得即可得圖像對稱中心的坐標是；（Ⅲ）舉出這個反例即可說明此命題是假命題.
試題解析：（Ⅰ）平移后圖像對應的函數解析式為，
∵，，∴是奇函數，
又由題設真命題知，函數圖像對稱中心的坐標是.
（Ⅱ）設的對稱中心為,由題設知函數是奇函數.
設則，
由不等式的解集關于原點對稱,得.
此時.
任取，由，得，
所以函數圖像對稱中心的坐標是.
（Ⅲ）此命題是假命題.
舉反例說明:函數的圖像關于直線成軸對稱圖像，但是對任意實數和，函數，即總不是偶函數.
修改后的真命題: “函數的圖像關于直線成軸對稱圖像”的充要條件是“函數是偶函數”.
考點：1.三角函數的平移；2.求函數的對稱中心.