Question

已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的動直線L交橢圓C于  A．B兩點．問：是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T ? 若存在，求點T坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由

因直線相切，，∴，…2分

∵圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角

形，∴              ………………4分

故所求橢圓方程為              ………………5分

（Ⅱ）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

當L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：      

由

即兩圓公共點（0，1）因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）       ………7分

（ⅰ）當直線L斜率不存在時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）

（ⅱ）若直線L斜率存在時，可設直線L：

由

記點．           ………………9分

 

           

∴TA⊥TB,                  ………………11分

綜合（ⅰ）（ⅱ），以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）．

【解析】略