已知數列
，
滿足
，
，且對任意的正整數
，
和
均成等比數列.
（1）求
、
的值；
（2）證明：
和
均成等比數列；
（3）是否存在唯一正整數
，使得
恒成立？證明你的結論.
（1）
，
；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
解析試題分析：本題考查數列的求值，等比數列的證明和研究不等式的恒成立問題.（1）通過題設條件給出的數列關系，求出數列的初始值；（2）根據等比數列的定義，分別得到證明，其中應說明第一項不為零；（3）探求是否存在唯一的正整數使得恒成立分兩步求解，先通過數列
，的單調性得到
，再證明證整數
時唯一的，求解有關數列的綜合問題，主要是要明確解題方向，合理利用數列的相關性質化難為易，化繁為簡，同時還要注意解題步驟的規范性和嚴謹性.
試題解析：（1）依題意，
；
（2）證明：依題意，對任意正整數有
，即
，
，
又
，
數列
是首項為
，公比為
的等比數列，
，又
，數列是首項為
，公比為
的等比數列.
（3）由（2）得
，解得
，顯然，數列是單調遞增的數列，是單調遞減的數列，即存在正整數，使得對任意的
，有，
又令
得
，而
，
，
，
，解得
，即對任意的且時，
，正整數也是唯一的.
綜上所述，存在唯一的正整數，使得對任意的，有.
考點：等差數列、等比數列的性質，數列不等式的恒成立問題.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
滿足
，
，
，
是數列
的前
項和．
(1)若數列為等差數列．
（ⅰ）求數列的通項
；
（ⅱ）若數列
滿足
，數列
滿足
，試比較數列
前項和
與前項和
的大�。�
(2)若對任意
，
恒成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
等比數列{an}的各項均為正數，且2a1＋3a2＝1，a32＝9a2a6.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數列
的前n項和．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
中，
，
，
.
（1）證明：數列
是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）在數列中，是否存在連續三項成等差數列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；
（3）若
且
，
，求證：使得
，
，
成等差數列的點列
在某一直線上.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知無窮數列
的前
項和為
，且滿足
，其中
、
、
是常數.
（1）若
，
，
，求數列的通項公式；
（2）若
，
，
，且
，求數列的前項和；
（3）試探究、、滿足什么條件時，數列是公比不為
的等比數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列
的集合：①對任意
，
恒成立；②對任意，存在與n無關的常數M，使
恒成立．
（1）若是等差數列，
是其前n項和，且
試探究數列
與集合W之間的關系；
（2）設數列
的通項公式為
，且
，求M的取值范圍．
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的前
項和為
，數列
滿足：
。
；
；（3）若
，求數列
的前
.
為首項為1的等差數列，其公差
，且
成等比數列.
,數列
的前
項和
,求
.
中，
，其前
項和為
，等比數列
的各項均為正數，
，公比為
，且
，
.
與
；（2）設數列
滿足
，求
的前
.