Question

設函數f（x）=x³-3x²-9x，g（x）=15x+a
（1）求f（x）的極值；
（2）若函數f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有三個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0解得函數單調區間，由此可求出函數極值；
（2）函數f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有三個交點，即f（x）=g（x）有3個解，也即x³-3x²-24x=a有3個解，令h（x）=x³-3x²-24x，用導數求出h（x）的極大值、極小值，則a取值在極小值與極大值之間，從而得到a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；令f′（x）＜0，解得-1＜x3，
所以f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上單調遞增；在（-1，3）上單調遞減．
所以x=-1時取得極大值f（-1）=5，x=3時取得極小值f（3）=-27．
（2）函數f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有三個交點，
即x³-3x²-9x=15x+a有3個解，也即x³-3x²-24x=a有3個解，
令h（x）=x³-3x²-24x，則h′（x）=3x²-6x-24=3（x+2）（x-4），
令h′（x）＞0，解得x＜-2或x＞4，令h′（x）＜0，解得-2＜x＜4，
所以h（x）在（-∞，-2），（4，+∞）上單調遞增，在（-2，4）上單調遞減，
所以當x=-2時h（x）取得極大值h（-2）=-8-12+48=28，當x=4時h（x）取得極小值h（4）=64-48-96=-80．
所以-80＜a＜28，即a的取值范圍為（-80，28）．

點評：本題考查應用導數求函數的極值問題，可導函數f（x）在某點x₀取得極值的充要條件是：f′（x₀）=0，且f′（x）在x₀左右兩側異號．