Question

6．已知數列{a_n}的首項a₁=2，且a_n=2a_n-1-1（n∈N^*，N≥2）
（1）求證：數列{a_n-1}為等比數列；并求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{n•a_n-n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）已知通項公式變形，利用等比數列的性質判斷得證，求出數列{a_n}的通項公式即可；
（2）根據題意表示出數列{n•a_n-n}的前n項和S_n，利用數列的遞推式確定出S_n通項公式即可．

解答 證明：（1）由a_n=2a_n-1-1，得a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數列{a_n-1}構成首項為a₁-1=1，公比q=2的等比數列，
∴a_n-1=2^n-1，即a_n=2^n-1+1；
解：（2）∵na_n-n=n•2^n-1+n-n=n•2^n-1，
∴S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，①，
2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②，
②-①，得：S_n=-2⁰-2¹-2²-…-2^n-1+n•2ⁿ=-$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+n•2ⁿ=n•2ⁿ+1-2ⁿ=（n-1）2ⁿ+1．

點評 此題考查了數列的求和，以及等比數列的通項公式，熟練掌握等比數列的通項公式是解本題的關鍵．