Question

（2012•馬鞍山二模）設函數f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（I）如果存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
（II）如果對于任意的s、t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍..

Answer 1

分析：（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等價于g（x）_max-g（x）_min≥M；
（II）對于任意的s、t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）_max，進一步利用分離參數法，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等價于g（x）_max-g（x）_min≥M
∵g（x）=x³-x²-3，∴g′(x)=3x(x-

2

3

)
∴g（x）在（0，

2

3

）上單調遞減，在（

2

3

，2）上單調遞增
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
∴g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴滿足的最大整數M為4；
（II）對于任意的s、t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）_max．
由（I）知，在[

1

2

，2]上，g（x）_max=g（2）=1
∴在[

1

2

，2]上，f（x）=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x-x²lnx恒成立
記h（x）=x-x²lnx，則h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0
∴當

1

2

＜x＜1時，h′（x）＞0；當1＜x＜2時，h′（x）＜0
∴函數h（x）在（

1

2

，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，
∴h（x）_max=h（1）=1
∴a≥1

點評：本題考查導數在研究函數問題中的應用、由不等式恒成立求解參數范圍，考查等價轉化思想，這種常規的數學思想方法值得研究．