Question

已知點N（

5

2

，0），以N為圓心的圓與直線l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（Ⅰ）求圓N的方程；
（Ⅱ）設l分別與直線l₁和l₂交于A、B兩點，且AB中點為E（4，1），試判斷直線l與圓N的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：圓N與直線y=x相切，可得圓的半徑為

5

2 2

，進而求出圓的方程．
（II）由題可得：設A點的坐標為（a，a），結合題意可得B點的坐標為（8-a，2-a），所以a=5，即可求出直線l的方程，再根據圓心到直線的距離可得直線與圓的位置關系．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：點N（

5

2

，0）為圓心，并且圓N與直線y=x相切，
所以圓N的半徑為

5

2 2

，
所以圓N的方程(x-

5

2

)2+y2=

25

8

．  
（II）由題意可得：設A點的坐標為（a，a），
因為AB中點為E（4，1），所以B點的坐標為（8-a，2-a），
又因為點B 在直線y=-x上，
所以a=5，
所以A點的坐標為（5，5），
又因為AB中點為E（4，1），
所以直線l的斜率為4，
所以l的方程為4x-y-15=0，
圓心N到直線l的距離

5 17

17

＜

5 2

4

，所以直線l與圓N相交．

點評：本題主要考查圓的標準方程，以及圓與直線的位置關系的判斷．