Question

（2006•宣武區一模）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，平面B₁ED交A₁D₁于F．
（Ⅰ）指出F在A₁D₁上的位置，并證明；
（Ⅱ）求直線A₁C與B₁F所成角的余弦值；
（Ⅲ）設P為面BCC₁B₁上的動點，且AP=

2

，試指出動點P的軌跡，并求出其軌跡所表示的曲線的長度．

Answer 1

分析：（I）由正方體的性質結合面面平行的性質，證出B₁F∥DE且B₁E∥DF，得到四邊形DEB₁F為平行四邊形．從而有 B₁F=DE，結合A₁B₁=CD得Rt△A₁B₁F≌Rt△CDE，進而算出此時F為A₁D₁的中點；
（II）過C作CH∥DE，交AD的延長線于H，連結A₁H，則A₁C與B₁F所成的角就等于A₁C與CH所成的銳角．然后在Rt△A₁CH中，利用勾股定理和三角函數的定義加以計算，即可得出直線A₁C與B₁F所成角的余弦值；
（III）由正方體的性質和線面垂直的性質，得AB⊥BP，然后在Rt△ABP中算出BP=1，從而得到點P的軌跡是以B為圓心、半徑為1的四分之一圓，利用圓的周長公式即可算出所求曲線的長度．

解答：解：（I）F為A₁D₁的中點，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁
而面B₁EDF∩面ABCD=DE，面B₁EDF∩面A₁B₁C₁D₁=B₁F
∴B₁F∥DE，
同理可得B₁E∥DF，從而得到四邊形DEB₁F為平行四邊形
∴B₁F=DE，
又∵A₁B₁=CD，可得Rt△A₁B₁F≌Rt△CDE
∴A1F=CE=

1

2

BC=

1

2

A1D1，得F為A₁D₁的中點…（5分）
（II）過點C作CH∥DE，交AD的延長線于H，連結A₁H，
則A₁C與B₁F所成的角就等于A₁C與CH所成的銳角．
∵Rt△A₁CH中，A1C=

3

，CH=

5

2

，A1H=

A1C2+CH2

=

13

2

∴cos∠A1CH=

A1C2+CH2-A1H2

2•A1C?CH

=

3+ 5 4 - 13 4

2• 3 • 5 2

=

15

15

即直線A₁C與B₁F所成角的余弦值為

15

15

…（10分）
（III）∵AB⊥面BCC₁B₁，BP?面BCC₁B₁，∴AB⊥BP，
在Rt△ABP中，BP=

AP2-AB2

=

( 2 )2-12

=1
由此可得點P的軌跡是以B為圓心，1為半徑的四分之一圓，
可得所求曲線的長度為L=

1

4

•2π•1=

π

2

…（14分）

點評：本題在正方體中求證線面平行，并求異面直線所成角的大小，著重考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質和面面平行判定定理等知識，屬于中檔題．