Question

在正三棱錐P-ABC（頂點在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，過A作與PB，PC分別交于D和E的截面，則截面△ADE的周長的最小值是______．

Answer 1

三棱錐的側面展開圖，如圖，
△ADE的周長的最小值為AA₁，
在△PAB中，sin

1

2

∠APB=

2

8

=

1

4

，∴cos∠APB=1-2sin²

1

2

∠APB=

7

8

，
在△APA₁中，∴sin

1

2

∠APA₁=sin（∠APB+

1

2

∠APB）=sin∠APBcos

1

2

∠APB+cos∠APBsin

1

2

∠APB=

15

8

×

15

4

+

7

8

×

1

4

=

11

16

，
所以AA₁=2PA×sin

1

2

∠APA₁=11，
故答案為：11．