Question

已知函數f（x）=x²-bx+3，且f（0）=f（4）．
（1）求函數y=f（x）的零點，寫出滿足條件f（x）＜0的x的集合；
（2）求函數y=f（x）在區間[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）把f（0）=f（4）代入函數解析式，即可求得b的值，令f（x）=0，解方程即可求得函數y=f（x）的零點，進而求出f（x）＜0的x的集合；
（2）根據（1）求得的結果，對二次函數配方，求出其在區間[0，3]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）由f（0）=f（4），得3=16-4b+3，
∴b=4，
∴f（x）=x²-4x+3，函數的零點為1，3，
令f（x）=0，解得x=1或x=3，
∴f（x）=x²-4x+3，函數的零點為1，3，
依函數圖象，f（x）＜0的x的集合為{x|1＜x＜3}．
（2）由于函數f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，x∈[0，3]
所以，f（x）的最小值為f（2）=-1，
f（x）的最大值為f（0）=3．

點評：本題考查待定系數法求函數的解析式，三個二次之間的關系，體現了轉化的數學思想方法，屬中檔題．