Question

已知函數f（x）=ax²+4x+1在區間（-∞，1）有零點，則實數a的取值范圍為

（-∞，4]

．

Answer 1

分析：討論a 是否為0，當a≠0時，考慮△=0的情況以及在（-∞，1）上具有單調性用零點定理解決．

解答：解：當a=0時，函數f（x）=4x+1，在區間（-∞，1）有零點x=-

1

4

，滿足條件．
當a≠0時，當f（x）在（-∞，1）上有一個零點時，此時，

△=16-4a=0 2 -a ＜1

，或 

a＞0 f(1)≤0

，或 

a＜0 f(1)≥0

．
解得a=4 或-5≤a＜0．
當f（x）在（-∞，1）上有2個零點時，此時，

a＞0 △=16-4a＞0 2 -a ＜1 f(1)＞0

，或

a＜0 △=16-4a＞0 2 -a ＜1 f(1)＜0

，
解得 0＜a＜4，或  a＜-5．
綜上可得，實數a的取值范圍為 （-∞，4]．

點評：本題考查二次函數與方程之間的關系，二次函數在給定區間上的零點問題，要注意函數圖象與x軸相切的情況，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．