Question

已知ABCD是矩形，PD=DC=a,AD=a,PD⊥平面ABCD，M、N分別是AD、PB的中點.

(1)求證：平面MNC⊥平面PBC；

(2)求點A到平面MNC的距離.

Answer 1

(方法一)證明：(1)連結PM，BM，PM==,

BM==,∴PM=BM,∴MN⊥PB,

    又有：PC==a,

∴BC=PC,∴CN⊥PB,∴PB⊥平面MNC，∴平面MNC⊥平面PBC；

(2)取BC中點，NC中點，

    易證得：AE∥MC，

    故點A到平面MNC的距離就是點E到平面MNC的距離.

    因PB⊥平面MNC，∴EF∥PB，

    故EF⊥平面MNC，故點E到平面MNC的距離就是EF.

    因EF=,因PB==2a,

    故EF=.

    故點A到平面MNC的距離是.

(方法二)

(1)如圖，建立空間直角坐標系D—XYZ，則：

P(0,0,a),B(a,a,0),M(,0,0),C(0,a,0),N(,,).

=(0,,), =(,-,),=(a,a,-a)

∴⊥,⊥.

∴PB⊥平面MNC，

∴平面PBC⊥平面MNC.

(2)由上可知：⊥，

    設點A到平面MNC的距離為h，易知點N到平面ACM的距離為,

    且：||=,||=a,故有：S_△MNC=||·||=,又S_△AMC=||·||=,

    因V_A—MNC=V_N—AMC，故有：h=,

    即點A到平面MNC的距離是.