Question

已知函數f（x）=x²+alnx的圖象與直線l：y=-2x+c相切，切點的橫坐標為1．
（1）求函數f（x）的表達式和直線l的方程；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若不等式f（x）≥2x+m對f（x）定義域內的任意x恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用導數的幾何意義求直線方程．
（2）利用導數求函數的單調區間．
（3）將不等式轉化為最值恒成立，然后利用導數求函數的最值．

解答：解：（1）因為f′(x)=2x+

a

x

，所以-2=f'（1）=2+a，所以a=-4
所以f（x）=x²-4lnx…（2分）
所以f（1）=1，所以切點為（1，1），所以c=3
所以直線l的方程為y=-2x+3…（4分）
（2）因為f（x）的定義域為x∈（0，+∞）所以由f′(x)=

2x2-4

x

＞0得x＞

2

…（6分）
由f′(x)=

2x2-4

x

＜0得0＜x＜

2

…（7分）
故函數f（x）的單調減區間為(0，

2

)，單調增區間為(

2

，+∞)…（8分）
（3）令g（x）=f（x）-2x，則g′(x)=2x-

4

x

-2＞0(x＞0)得x＞2
所以g（x）在（0，2]上是減函數，在[2，+∞）上是增函數…（10分）
g（x）_min=g（2）=-4ln2，所以m≤g（x）_min=-4ln2…（11分）
所以當f（x）≥2x+m在f（x）的定義域內恒成立時，實數m的取值范圍是（-∞，-4ln2]…（12分）

點評：本題主要考查導數的綜合應用，要求熟練掌握函數的單調性、最值和極值與導數的關系．