Question

已知數列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2）．
（1）求證：{a_n+1+2a_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|++|b_n|＜m對于n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件先推導出a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2），a₂+2a₁=15，由此可知數列{a_n+1+2a_n}是以15為首項，3為公比的等比數列．
（2）由a_n+1+2a_n=5•3ⁿ和待定系數法能夠求出數列{a_n}的通項公式．
（3）由3ⁿb_n=n（-2）ⁿ，可知b_n=n（-）ⁿ，令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=（）²+2（）³+…+（n-1）（）ⁿ+n（）ⁿ⁺¹，得S_n=6[1-（）ⁿ]-3n（）ⁿ⁺¹＜6，由此能求出m的取值范圍．
解答：解：（1）由a_n+1=a_n+6a_n-1，a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2）
∵a₁=5，a₂=5∴a₂+2a₁=15
故數列{a_n+1+2a_n}是以15為首項，3為公比的等比數列（5分）
（2）由（1）得a_n+1+2a_n=5•3ⁿ由待定系數法可得（a_n+1-3ⁿ⁺¹）=-2（a_n-3ⁿ）
即a_n-3ⁿ=2（-2）^n-1故a_n=3ⁿ+2（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ（9分）
（3）由3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n）=n[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n（-2）ⁿ，
∴b_n=n（-）ⁿ
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=（-）+2（）²+3（）³+…+n（）ⁿS_n
=（）²+2（）³+…+（n-1）（）ⁿ+n（）ⁿ⁺¹（11分）
得S_n=+（）²+（）³+…+（）ⁿ-n（）ⁿ⁺¹
=-n（）ⁿ⁺¹
=2[1-（）ⁿ]-n（）ⁿ⁺¹
∴S_n=6[1-（）ⁿ]-3n（）ⁿ⁺¹＜6
要使得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m對于n∈N^*恒成立，只須m≥6（14分）
點評：本題綜合考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細求解，注意遞推式的應用．