Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1交于A、B兩點，（1）若以AB線段為直徑的圓過坐標原點，求實數a的值。（2）是否存在這樣的實數a，使A、B兩點關于直線對稱？說明理由。

Answer 1

（1）a=；（2）不存在這樣的a，使A(),B()關于直線對稱。

解析:

（1）聯立方程，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0.

設A(),B(),那么：。

由于以AB線段為直徑的圓經過原點，那么：，即。

所以：，得到：，解得a=

(2)假定存在這樣的a，使A(),B()關于直線對稱。

那么：，兩式相減得：，從而

因為A(),B()關于直線對稱，所以

代入（*）式得到：-2=6，矛盾。

也就是說：不存在這樣的a，使A(),B()關于直線對稱。