Question

已知函數f(x)=

x

1-ax

+ln(1-x)．
（Ⅰ）當a=-1時，討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若x∈（-∞，0]時f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=-1時，f(x)=

x

1+x

+ln(1-x)，f′(x)=

1

(1+x)2

+

1

x-1

=

x(x+3)

(x-1)(x+1)2

，由此能推導出函數f（x）的單調性．
（Ⅱ）當a=0時，f（x）=ln（1-x）+x，f′(x)=

x

x-1

，函數f（x）在（-∞，0]增函數，不合題意；當a≠0，f′(x)=

1

(1-ax)2

+

1

x-1

=

a2x(x- 2a-1 a2 )

(x-1)(1-ax)2

，由此進行分類討論，能求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=-1時，f(x)=

x

1+x

+ln(1-x)，
其定義域為{x|x＜1，且x≠-1}．
∴f′(x)=

1

(1+x)2

+

1

x-1

=

x(x+3)

(x-1)(x+1)2

，…（2分）
∴函數f（x）在（-∞，-3），（0，1）為減函數，
在（-3，-1），（-1，0）為增函數．…（4分）
（Ⅱ）解：（1）當a=0時，f（x）=ln（1-x）+x，
f′(x)=

x

x-1

，
∵x∈（-∞，0]，f'（x）≥0，函數f（x）在（-∞，0]增函數，
故f（x）≤f（0）=0，不合題意，所以a≠0．…（6分）
（2）若a≠0時，f′(x)=

1

(1-ax)2

+

1

x-1

=

a2x(x- 2a-1 a2 )

(x-1)(1-ax)2

，
①當a≥

1

2

時，

2a-1

a2

≥0，x∈（-∞，0]時，f'（x）≤0，
故f（x）在（-∞，0]為減函數，從而f（x）≥f（0）=0恒成立．…（8分）
②當0＜a＜

1

2

時，

2a-1

a2

＜0，
函數f（x）在(-∞，

2a-1

a2

)上單調遞減，在(

2a-1

a2

，0)上單調遞增，
則在(

2a-1

a2

，0)上存在x₀，使f（x₀）＜f（0）=0，故不符合題意．
③當a＜0時，∵

2a-1

a2

-

1

a

=

a-1

a2

＜0，∴

2a-1

a2

＜

1

a

．
函數f（x）在(-∞，

2a-1

a2

)上單調遞減，在(

2a-1

a2

，

1

a

)、(

1

a

，0)上單調遞增，
則在(

2a-1

a2

，

1

a

)、(

1

a

，0)上存在x₀，使f（x₀）＜f（0）=0，故不符合題意．
綜上，a的取值范圍是{a|a≥

1

2

}．…（12分）

點評：本題考查函數的單調性的判斷，考查使得不等式恒成立的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數的性質的合理運用，合理地運用分類討論思想解題．