Question

函數f（x）=ax³﹣6ax²+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y﹣11=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得f'（x）=3ax²﹣12ax+3b，f'（2）=﹣3且f（2）=5，
∴即解得a=1，b=3，
∴f（x）=x³﹣6x²+9x+3．
（2）由f（x）=x³﹣6x²+9x+3，
可得f'（x）=3x²﹣12x+9，=x²+x+3+m，
則由題意可得x³﹣6x²+9x+3=x²+x+3+m有三個不相等的實根，
即g（x）=x³﹣7x²+8x﹣m的圖象與x軸有三個不同的交點，
g'（x）=3x²﹣14x+8=（3x﹣2）（x﹣4），
則g（x），g'（x）的變化情況如下表．

則函數f（x）的極大值為，極小值為g（4）=﹣16﹣m．
y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同交點，
則有：解得．