Question

問題：有兩堆棋子，數目相同，兩人游戲的規則是：兩人輪流取棋子，每人可以從一堆中任意取棋，但不能同時從兩堆取，取得最后一顆棋子的人獲勝，求證后取棋子者一定可以獲勝.

    設每堆棋子數目為n，你可以先試試能證明上述結論嗎？

Answer 1

導思：分析題設中的數學思想，轉化為數學問題，而本問題可以用數學歸納法證明.

探究：下面用第二數學歸納法證明.

證明：設每堆棋子數目為n.

（1）當n=1時，先取棋子者只能從一堆里取1顆，這樣另一堆里留下的1顆就被后取棋子者取得，所以結論是正確的.

(2)假設當n≤k(k≥1)時結論正確，即這時后取棋子者一定可以獲勝.

考慮當n=k+1時的情形.

    先取棋子者如果從一堆里取k+1顆，那么另一堆里留下的k+1顆就被后取棋子者取得，所以結論是正確的.

    先取棋子者如果從一堆里取棋子m(1≤m≤k)顆，這樣，剩下的兩堆棋子，一堆有k+1顆，另一堆有k+1-m顆，這時后取棋子者可以在較多的一堆里取m顆，使兩堆棋子數目都是k+1-m顆，這時就變成了n=k+1-m的問題，而不論m是1—k的哪個整數，n=k+1-m都是不大于k的正整數，由歸納假設可知這時后取棋子者一定可以獲勝.

于是，當n=k+1時結論正確.

    由（1）（2）知，根據第二數學歸納法，無論每堆棋子的數目是多少，后取棋子者都能獲勝.