Question

在測量一根新彈簧的勁度系數時，測得了如下的結果：

所掛重量（N）（x）	1	2	3	5	7	9
彈簧長度（cm）（y）	11	12	12	13	14	16

（1）請畫出上表所給數據的散點圖；
（2）彈簧長度與所掛重量之間的關系是否具有線性相關性，若具有請根據上表提供的數據，
求出y關于x的線性回歸方程

?

y

=bx+a；
（3）根據回歸方程，求掛重量為8N的物體時彈簧的長度．所求得的長度是彈簧的實際長度嗎？為什么？
注：本題中的計算結果保留小數點后一位．

Answer 1

分析：（1）根據所給的6組數據，寫出對應的點的坐標，在平面直角坐標系中描出對應的點的散點圖．
（2）根據所給的這組數據，做出橫標和縱標的平均值，利用最小二乘法，寫出線性回歸直線系數的值，再根據樣本中心點寫出a的值，得到線性回歸方程．
（3）根據所給的線性回歸方程，把x的值代入，求出對應的y的預報值，不是彈簧的實際長度，因為這是一個估計值或預報值．

解答：解：（1）根據所給的6組數據，寫出對應的點的坐標，
在平面直角坐標系中描出對應的點的散點圖．

（2）由散點圖可知這組數據有線性相關關系．

.

x

=

1+2+3+5+7+9

6

=

27

6

=

9

2

，

.

y

=

11+12+12+13+14+16

6

=13
b=

1×11+2×12+3×12+5×13+7×14+9×16-6×4.5×13

1+2+9+25+49+81-6×4.52

=0.6，
∴a=10.3
∴

?

y

=0.6x+10.3
（3）當x=8N時，

?

y

=15.1．
不是彈簧的實際長度，因為這是一個估計值或預報值．

點評：本題考查利用最小二乘法求線性回歸方程的系數，考查利用線性回歸方程估計預報對應的y的值，本題主要考查運算，在利用最小二乘法時，注意數字的運算不要出錯．