Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

和x=1時都取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值（用含c的代數式表示）；
（3）若對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數與極值之間的關系建立方程求解．（2）利用導數通過表格求函數的最大值和最小值．（3）不等式恒成立，實質是求f（x）在[-1，2]的最大值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b      …1
因為函數f（x）在x=-

2

3

和x=1取到極值，即f′（-

2

3

）=0，f′（1）=0．
所以，f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
解得 a=-

1

2

，b=-2        …3

（2）由（1）可得f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c

x	-1	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1 2 +c	遞增	+c	遞減	- 3 2 +c	遞增	2+c

所以，在[-1，2]上  f_min（x）=f（1）=-

3

2

+c，f_max（x）=f（2）=2+c…7
（3）要使f（x）＜c²在x∈[-1，2]恒成立，只需f_max（x）＜c²，即2+c＜c²
解得 c＜-1或c＞2     …10

點評：本題的考點是函數的極值與導數的關系，以及利用導數求函數的最大值和最小值問題．