Question

有下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=10^-x和函數(shù)y=10^x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；
②所有冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）；
③若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=1，則

1

a

+

4

b

的最小值為9；
④若{a_n}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“a₁＜a₂”是“數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列”的充要條件．
其中真命題的個(gè)數(shù)有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由函數(shù)的性質(zhì)可判斷①②，由不等式的條件與性質(zhì)可判斷③的正誤，利用充分條件與充要條件的概念可判斷④．

解答：解：∵函數(shù)y=10^-x和函數(shù)y=10^x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；
所有冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），故②正確；
對(duì)于③，若a、b∈R⁺滿足a+b=1，則

1

a

+

4

b

的最小值為9，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，∵{a_n}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，
∴若a₁＜a₂，則q＞1，
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，即充分性成立；
反之，a₁＞0，若等比數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，顯然a₁＜a₂，即必要性成立；
∴{a_n}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“a₁＜a₂”是“數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列”的充要條件，即④正確；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查基本不等式及充分條件與充要條件的概念，屬于中檔題．