Question

已知，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，，計算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項公式a_n；
（Ⅲ）證明（Ⅱ）中的猜想．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為，f（2）=1，
所以=1，解得 a=2． …（2分）
（Ⅱ）在{a_n}中，因為a₁=1，．
所以，，，
所以猜想{a_n}的通項公式為．…（6分）
（Ⅲ）證明：因為a₁=1，，
所以，即．
所以是以為首項，公差為的等差數(shù)列．
所以，所以通項公式．…（9分）
分析：（Ⅰ）因為，f（2）=1，可得=1，由此解得a的值．
（Ⅱ）根據(jù)在{a_n}中，a₁=1，，令n=1、2、3，即可求得a₂，a₃，a₄的值，由此猜想通項公式a_n．
（Ⅲ）由題意可得，即，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出的通項公式，即可得到{a_n}的通項公式．
點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，不完全歸納法的應(yīng)用，用綜合法證明等式，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．