Question

在銳角三解形ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若sinA=8cosBcosC
（I）求tanB+tanC的值；
（II）若a=3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

解：（I）在銳角三解形ABC中，∵sinA=8cosBcosC，
∴sin（B+C）=8cosBcosC，即sinBcosC+cosBsinC=8cosBcosC．
∴tanB+tanC=8．
（II）若a=3，由正弦定理可得 ，
∴△ABC面積 S==•••sinA=•=•=•tanBtanC≤•
=×16=9，當且僅當tanB=tanC，即 B=C時，等號成立．
故△ABC面積 S的最大值為9．
分析：（I）在銳角三解形ABC中，由sinA=8cosBcosC 利用兩角和差的正弦公式可得sinBcosC+cosBsinC=8cosBcosC，由此求得tanB+tanC 的值．
（II）若a=3，由正弦定理可得△ABC面積 S=•••sinA=•tanBtanC，利用基本不等式求得S的最大值．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數的基本關系，正弦定理以及基本不等式的應用，屬于中檔題．