Question

（2012•藍山縣模擬）已知函數f（x）=

1

2

ax²+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
（1）若函數在區間（2，4）上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；
（2）求函數的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）首先分析求出函數的定義域，對f（x）求導可得f′（x）=ax+1-a-

1

x

，根據題意，有f′（x）=ax+1-a-

1

x

≥0，變形可得a（x-1）≥-

x-1

x

，結合x的范圍，可得a≥-

1

x

，由反比例函數的性質，可得答案；
（2）對f（x）求導變形可得f′（x）=（ax+1）•

x-1

x

，解令f′（x）=0，可得x的值，進而分①當a＜-1，②當a=-1③當-1＜a＜0，④當a=0，⑤a＞0，五種情況討論f′（x）≥0的解集，綜合可得答案．

解答：解：（1）根據題意，函數定義域為{x|x＞0}，
f′（x）=ax+1-a-

1

x

，
已知函數在區間（2，4）上存在單調遞增區間，
由f′（x）=ax+1-a-

1

x

≥0有解，有a（x-1）≥-

x-1

x

又由2＜x＜4，則x-1＞0，
則有a≥-

1

x

＞-

1

4

，
故a的取值范圍是（-

1

4

，+∞）．
（2）f′（x）=ax+1-a-

1

x

=（ax+1）•

x-1

x

，
令f′（x）=0，可得x=0、-1、或-

1

a

，
①當a＜-1時，由f′（x）≥0得-

1

a

≤x≤1，f（x）的單調增區間為[-

1

a

，1]；
②當a=-1時，f′（x）=-

(x-1)2

x

≤0，f（x）無單調增區間；
③當-1＜a＜0時，由f′（x）≥0得1≤x≤-

1

a

，f（x）的單調增區間為[1，-

1

a

]；
④當a=0時，由f′（x）=

x-1

x

≥0得x≥1，f（x）的單調增區間為[1，+∞）；
⑤當a＞0時，由f′（x）=（ax+1）•

x-1

x

≥0得x≥1，f（x）的單調增區間為[1，+∞）．
綜上所述當a＜-1時，f（x）的單調增區間為[-

1

a

，1]；
當a=-1時，f（x）無單調增區間；
當-1＜a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，-

1

a

]；
當a≥0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞）．

點評：本題考查函數的單調性與其導數的關系，注意解題時要先分析函數的定義域．