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橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）且滿足a≤
3
b，若離心率為e，則e2+
1
e2
的最小值為
 
．
分析：先根據e=
c
a
，c=
a2-b2
對e2+
1
e2
進行整理得2+
b2
a2
•
b2
a2-b2
，再根據a≤
3
b進而求得e2+
1
e2
的范圍，求得最小值．
解答：解：∵a≤
3
b，
e2+
1
e2
=
c2
a2
+
a2
c2

=
a2-b2
a2
+
a2
a2-b2

=2+
b2
a2
•
b2
a2-b2

∵a≤
3
b，，∴a2≤3b2，
∴
b2
a2
≥
1
3
，且
b2
a2-b2
≥
b2
3b2-b2
=
1
2

∴
b2
a2
•
b2
a2-b2
≥
1
3
×
1
2
=
1
6

∴e2+
1
e2
≥
13
6

故答案為：
13
6
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設 A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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同步練習冊答案
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