Question

已知橢圓┍的方程為+=1（a＞b＞0），點P的坐標為（-a，b）．
（1）若直角坐標平面上的點M、A（0，-b），B（a，0）滿足=（+），求點M的坐標；
（2）設直線l₁：y=k₁x+p交橢圓┍于C、D兩點，交直線l₂：y=k₂x于點E．若k₁•k₂=-，證明：E為CD的中點；
（3）對于橢圓┍上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓┍上存在不同的兩個交點P₁、P₂滿足+=，寫出求作點P₁、P₂的步驟，并求出使P₁、P₂存在的θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設M（x，y） 根據=（+）分別用三點的坐標表示出三個向量，進而解得x和y，則M點坐標可得．
（2）直線l₁與橢圓方程聯立消去y，根據判別式求得，a²k₁²+b²-p²＞0，設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點坐標為（x，y），利用韋達定理可求得x₁+x₂的表達式，進而求得x，代入直線方程求得y，兩直線方程聯立根據直線l₂的斜率求得x=x，y=y
進而判斷出E為CD的中點；
（3）先求出PQ的中點的坐標，進而求出直線OE的斜率，再由+=，知E為CD的中點，根據（2）可得CD的斜率，直線CD與橢圓Γ的方程聯立，方程組的解即為點P1、P2的坐標．欲使P1、P2存在，必須點E在橢圓內，進而求得q的取值范圍．
解答：解：（1）設M（x，y）
∵=（+），
∴2（x+a，y-b）=（a，-2b）+（2a，-b）
∴，
解得x=y=-
M點坐標為（，-）
（2）由方程組，消y得方程（a²k_′1+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，
因為直線l₁：y=k₁x+p交橢圓于C、D兩點，所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點坐標為（x，y），
則x==-，y=k₁x+p=，由方程組，消y得方程（k₂-k₁）x=p，
又因為k₂=-，所以x==x，y=k₂x=y
故E為CD的中點；
（3）求作點P₁、P₂的步驟：
1°求出PQ的中點E（-，），
2°求出直線OE的斜率k₂==，
3°由+=，知E為CD的中點，根據（2）可得CD的斜率k₁=，
4°從而得直線P₁P₂的方程：y-=（x+），
5°將直線CD與橢圓Γ的方程聯立，方程組的解即為點P₁、P₂的坐標．
欲使P₁、P₂存在，必須點E在橢圓內，
所以+＜1，化簡得sinθ-cosθ＜，∴sin（θ-）＜，
又0＜q＜p，所以-＜θ-＜arcsin，
故q的取值范圍是（0，+arcsin）
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的前提是要求學生對基礎知識有相當熟練的把握．